Skip to content
March 19, 2011 / blogmat123

modul dimensi 3

10. GD 3

March 19, 2011 / blogmat123

modul dimensi 2

9. GD2

March 19, 2011 / blogmat123

Modul matriks

4. Matriks

3. Persamaan

March 14, 2011 / blogmat123

MODUL APROKSIMASI KESALAHAN

BAB 2. APROKSIMASI KESALAHAN

A. Pengertian Membilang dan Mengukur

Kita mengenal istilah membilang (menghitung) dan mengukur, kedua istilah tersebut memiliki arti yang berlainan.

Membilang (menghitung) merupakan sesuatu yang eksak (pasti), contohnya: banyaknya siswa di suatu kelas, banyaknya buku dalam tas.

Sedangkan mengukur merupakan pendekatan, seperti mengukur panjang, luas, masa, waktu dan sebagainya.

Dalam pengukuran tingkat ketelitian sangatlah diperlukan, emakin teliti pengukuran kita, maka semakin akurat perolehan dari pengukuran tersebut. Pembuatan nilai terhadap hasil pengukuran dan tidak berlaku untuk hal yang sifatnya eksak disebut Aproksimasi.

 

B. Pembulatan

Kita kenal ada tiga cara pembulatan hasil pengukuran :

1.      Pembulatan ke satuan terdekat.

2.      Pembulatan ke angka desimal.

3.      Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (penting)

1. Pembulatan ke satuan terdekat

Aturan pembulatan suatu bilangan ke satuan terdekat yaitu :

a.       Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka ini hilang dan angka di depannya ditambah satu.

b.      Jika angka berikutnya kurang dari 5, angka ini dihilangkan dan angka di depannya tetap.

Contoh:

a. 74,5 cm        = 75 cm           (dibulatkan ke cm terdekat)

b. 45,49 lt        = 45 lt              (dibulatkan ke lt terdekat)

c. 28,3576 kg   = 38,36 kg       (dibulatkan ke perseratusan kg terdekat)

2.  Pembulatan ke banyaknya tempat desimal

Cara pembulatannya ke banyaknya angka-angka desimal yaang dikehendaki, yaitu berapa angka yang berada di belakang koma.

Contoh:

a. 47,25369 = 47,2537            (dibulatkan ke-4 tempat desimal)

b. 47,25369 = 47,254              (dibulatkan ke-3 tempat desimal)

c. 47,25369 = 47,25                (dibulatkan ke-2 tempat desimal)

d. 47,25369 = 47,3                  (dibulatkan ke-1 tempat desimal)

3.  Pembulatan ke banyaknya angka signifikan (penting)

Ketentuan untuk menyatakan angka signifikan atau angka yang berarti (penting) segagai berikut :

a.   Semua angka selain nol adalah signifikan.

Contoh: 25,91® mempunyai 4 angka signifikan

5,4 ® mempunyai 2 angka signifikan

b. Semua angka nol  di antara angka selain nol adalah signifikan.

Contoh: 1,025 ® mempunyai 4 angka signifikan

203 ® mempunyai 3 angka signifikan

c. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada bilangan bulat bukan signifikan.

Contoh:       33.000 ® mempunyai 2 angka signifikan

42.300 ® mempunyai 3 angka signifikan

d. Semua angka nol di depan angka bukan nol pada desimal bukan signifikan.

Contoh: 0,00251 ® mempunyai 3 angka signifikan

2,5 x 10-3 ® mempunyai 2 angka signifikan

 

e. Semua angka nol di belakang angka bukan nol pada desimal adalah signifikan.

Contoh: 20,080 ® mempunyai 4 angka signifikan

0,510 ® mempunyai 3 angka signifikan

 

f. Semua angka nol pada bilangan yang diberi tanda khusus (strip atau bar) adalah signifikan.

Contoh: 50 ® mempunyai 3 angka signifikan

12.000 ® mempunyai 3 angka signifikan

 

B. Kesalahan Hasil Pengukuran

Perbedaan atau selisih antara pengukuran sebenarnya dengan hasil pengukuran disebut kesalahan. Orang selalu berusaha untuk memperkecil kesalahan hasil pengukuran dengan menggunakan alat ukur yang lebih teliti, namun tidak mungkin kesalahan dihilangkan keseluruhan. Oleh karena itu kita kenal beberapa jenis kesalahan, yaitu :

 

1. Satuan Ukur Terkecil (ST)

Satuan ukur terkecil adalah satu angka yang diperhitungkan sebagai tingkat ketelitian alat ukur.

Contoh:

Sebuah benda kerja diukur dengan tiga alat ukur masing-masing hasilnya adalah 25 satuan ukur; 25,0 satuan ukur; dan 25,04 satuan ukur.

Satuan terkecil dari tiga kali pengukuran itu masing-masing adalah 1 satuan; 0,1 satuan; dan 0,01 satuan.

 

2. Salah Mutlak (SM)

Salah mutlak = setengah dari satuan ukur terkecil

 

SM =  x ST

Contoh:

Tentukan salah mutlak dari hasil pengukuran panjang 5 cm !

Jawab:

HP       = 5 cm

ST        = 1 cm

SM =  x ST =  x 1 = 0,5 cm.

Ø      Batas atas pengukuran (BA) adalah hasil pengukuran ditambah salah mutlaknya.

Ø      Batas bawah pengukuran (BB) adalah hasil pengukuran dikurangi salah mutlaknya.

 

BA = HP + SM

BB = HP – SM

 

3. Salah Relatif (SR)

Perhatikan kesalahan pengukuran tersebut :

Kesalahan 1 gram pada pengukuran berat gula relatif tidak penting disbanding dengan pengukuran emas. Yang dimaksud salah relatif yaitu perbandingan antara salah mutlak dengan hasil pengukuran.

 

Salah relatif =        Salah Mutlak

Hasil Pengukuran

 

SR = SM

HP

Contoh:

Tentukan salah relatif dari hasil pengukuran panjang 5 cm !

Jawab:

HP       = 5 cm

ST        = 1 cm

SM =  x ST =  x 1 = 0,5 cm.

SR =  =  = 0,1

4. Persentase Kesalahan (PK)

Persentase kesalahan sama dengan salah relatif kali 100 persen

 

Persentase Kesalahan =         Salah Mutlak        x 100%

Hasil Pengukuran

 

SR = SM x 100%

HP

Contoh:

Tentukan persentase kesalahan dari hasil pengukuran 2,5 m !

Jawab:

HP       = 2,5 m

ST        = 0,1 m

SM =  x ST =  x 0,1 = 0,05 cm.

SR =  =  =

PK =  x 100% =  x 100% = 2%

 

5. Toleransi (T)

Toleransi dalam pengukuran adalah selisih antara pengukuran terbesar dengan pengukuran terkecil yang masih dapat diterima.

 

T = BA – BB

Contoh :

1) Dari hasil pengukuran 5 cm, tentukan toleransinya !

 

Jawab:

HP       = 5 cm

ST        = 1 cm

SM      =  x ST =  x 1 = 0,5 cm

BA       = HP + SM = 5 + 0,5 = 5,5

BB       = HP – SM = 5 – 0,5 = 4,5

T          = BA – BB = 5,5 – 4,5 = 1 cm

 

2) Ukuran benda yang dapat diterima ditulis (1,5 ± 0,02) m. Tentukan toleransinya !

 

Jawab:

BA = 1,5 + 0,02 =1,52 m

BB = 1,5 – 0,02 = 1,48 m

T = BA –BB = 1,52 – 1,48 = 0,04 m

LATIHAN 2.1

1. Bulatkan sampai satu tempat desimal !

a. 7,95                                                 c. 35,07

b. 102,63                                             d. 501,245

2. Tentukan banyaknya angka signifikan !

a. 24,7                                                 c. 2750

b. 4026                                                d. 0,0020

3. Nyatakan  sebagai pecahan desimal dan bulatkan sampai ketentuan berikut !

a. 2 tempat desimal                               c. 3 tempat desimal

b. 2 angka signifikan                             d. 3 angja signifikan

4. Carilah salah mutlak dari hasil berikut ini !

a. 20 km                                               c. 45 detik

b. 3,5 kg                                              d. 48,75 kg

5. Hasil pengukuran massa suatu barang ditulis 15,5 kg. Tentukan :

a. salah mutlak                          d. salah relatif

b. batas atas pengukuran                       e. persentase kesalahan

c. batas bawah pengukuran                   f. Toleransi

6. tentukan toleransi kesalahan dari hasil pengukuran yang dinyatakan dengan (53,4 ± 0,03) mm !

 

 

 

 

 

A. Penjumlahan Hasil Pengukuran

Jika  dua pengukuran atau lebih dijumlahkan, maka salah mutlaknya adalah jumlah salah mutlk dari pengukuran-pengukuran awal.

Penjumlahan hasil pengukuran dapat dibedakan menjadi dua yaitu jumlah maksimum dan jumlah minimum, yang dapat dirumuskan sebagai berikut:

 

Jumlah maksimum = BA1 + BA2

Jumlah minimum   = BB1 – BB2

 

BA1 = Batas atas pengukuran pertama

BA2 = Batas atas pengukuran kedua

BB1 = Batas bawah pengukuran pertama

BB2 = Batas bawah pengukuran kedua

Contoh:

1) Tentukan batas-batas penjumlahan dari  dua pengukuran 5,2 cm dan 3,6 cm (apabila masing-masing dibulatkan satu angka di belakang koma)

 

Jawab:

ST = 0,1 cm

SM masing-masing pengukuran = 0,5 x 0,1 = 0,05 cm

Pengukuran pertama 5,2 cm terletak dalam jangkauan  (5,2 ± 0,05) cm, berarti:

BA1 = 5,2 + 0,05 = 5,25 cm

BB1= 5,2 – 0,05 = 5,15 cm

Pengukuran kedua 3,6 cm terletak dalam jangkauan  (3,6 ± 0,05) cm, berarti:

BA2 = 3,6 + 0,05 = 3,65 cm

BB2 = 3,6 – 0,05 = 3,55 cm

Jumlah  sebenarnya = 5,2 + 3,6 = 8,8 cm dan salah mutlaknya = 0,05 + 0,05 = 0,10 cm.

Maka batas-batas pengukuran = (8,8  ± 0,10) cm.

Jumlah maksimum         = BA1 + BA2

= 5,25 + 3,65 = 8,90 cm (tidak boleh ditulis 8,9)

Jumlah minimum            = BB1 + BB2

= 5,15 + 3,55 = 8,70 cm (tidak boleh ditulis 8,7)

Jadi,batas-batas penjumlahan dua pengukuran itu adalah antara 8,70 cm dan 8,90 cm.

2) Carilah jumlah maksimum dan minimum dari hasil-hasil pengukuran 8 m dan 4 m !

Jawab:

BA1 = 8,5 m

8 m                                                                 Jumlah maksimum = 8,5 + 4,5 = 13 m

BB1 = 7,5 m

 

BA2 = 4,5 m                             Jumlah minimum = 7,5 + 3,5 = 11 m

4 m

BB2= 3,5 m

B. Pengurangan Hasil Pengukuran

Seperti halnya penjumlahan, pengurangan atau selisih juga dibedakan menjadi dua, yaitu :

 

Selisih maksimum = BAterbesar – BBterkecil

Selisih minimum    = BBterbesar – BAterkecil

 

 

Contoh:

1) Tentukan batas-batas pengurangan  dari dua pengukuran 5 cm dan 3 cm. Bulatkan masing-masing ke sentimeter terdekat !

Jawab:

ST = 1 cm

SM masing-masing pengukuran = 0,5 x 1 = 0,5 cm

Pengukuran terbesar 5 cm terletak dalam jangkauan  (5 ± 0,5) cm, berarti:

BAterbesar = 5 + 0,5 = 5,5 cm

BBterbesar = 5 – 0,5 = 4,5 cm

Pengukuran terkecil 3,6 cm terletak dalam jangkauan  (3 ± 0,5) cm, berarti:

BAterkecil = 3 + 0,5 = 3,5 cm

BBterkecil = 3 – 0,5 = 2,5 cm

Selisih  sebenarnya = 5 – 3 = 2 cm dan salah mutlaknya = 0,5 + 0,5 = 1,0 cm.

Maka batas-batas pengukuran = (2  ± 1,0) cm.

Selisih maksimum          = BAterbesar – BBterkecil

= 5,5 – 2,5 = 3,0 cm (tidak boleh ditulis 3)

Selisih minimum            = BBterbesar – BAterkecil

= 4,5 – 3,5 = 1,0 cm (tidak boleh ditulis 1)

Jadi, batas-batas pengurangan dari  dua pengukuran di atas terletak antara 1,0 cm dan 3,0 cm.

 

 

2) Carilah selisih maksimum dan minimum dari hasil-hasil pengukuran 12,5 m dan 9,4 m !

Jawab:

BA1 = 12,55 m

12,5 m                                                                 Selisih maksimum = 12,55 – 9,35 = 3,20 m

BB1 = 12,45 m

Selisih minimum = 12,45 – 9,45 = 3,00 m

BA2 = 9,45 m

9,4 m

BB2= 9,35 m

 

C. Perkalian Hasil Pengukuran

Dari dua pengukuran jika dikalikan akan diperoleh dua macam hasil kali, yaitu :

 

Hasil kali maksimum = BA1 x BA2

Hasil kali minimum   = BB1 x BB2

Contoh:

1) Hitung batas-batas luas yang mungkin dari sebuah persegi panjang yang memiliki panjang 4,5 m dan lebar 3,4 m !

Jawab:

ST = 0,1 cm

SM masing-masing pengukuran = 0,5 x 0,1 = 0,05 cm

Pengukuran pertama 4,5 cm terletak dalam jangkauan  (4,5 ± 0,05) cm, berarti:

BA1 = 4,5 + 0,05 = 4,55 cm

BB1= 4,5 – 0,05 = 4,45 cm

Pengukuran kedua 3,4 cm terletak dalam jangkauan  (3,4 ± 0,05) cm, berarti:

BA2 = 3,4 + 0,05 = 3,45 cm

BB2 = 3,4 – 0,05 = 3,35 cm

Jumlah maksimum = BA1 x BA2

= 4,55 x 3,45 = 15,6975 cm2

Jumlah minimum    = BB1 x BB2

= 4,45 x 3,35 = 14,9075 cm2

Jadi, batas luas persegi panjang di atas adalah antara 14,9075 cm2 sampai 15,6975 cm2.

 

2) Tentukan luas maksimum dan luas minimum persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm !

Jawab:

BA1 = 8,5 m

8 m                                                                 Luas maksimum = 8,5 x 5,5 = 46,75 m2

BB1 = 7,5 m

 

BA2 = 5,5 m                            Luas minimum = 7,5 x 4,5 = 33,25 m2

5 m

BB2= 45 m

 

LATIHAN 2.2

1. Tinggi badan Budi jika dihitung sampai sentimeter terdekat adalah 153 cm. Tentukan batas-batas tinggi badan Budi yang sebenarnya !

2. Tentukan jumlah maksimum dan minimum dari masing-masing hasil pengukuran berikut !

a. 7,6 gram dan 2,9 gram

b. 3,16 mm dan 0,85 mm

3. Panjang dan lebar suatu pelat tembaga diukur sampai mm terdekat hasilnya 20,6 cm dan 15,4 cm. Tentukan keliling pelat tembaga tersebut !

4. Tentukan batas-batas pengurangan dari pengukuran-pengukuran berikut :

a. 7,4 gram dan 1,8 gram

b. 8,21 mm dan 0,78 mm

5. Dari 2,10 meter panjang kawat tembaga, dipotong sebagian dengan panjang 65,5 cm. Tentukan selisih hasil pemotongan tersebut !

6. Carilah selisih maksimum dan minimum dari hasil pengukuran berikut ini :

a. 10 cm dan 6 cm

b. 2,7 kg dan 1,4 kg

c. 1,42 km dan 0,90 km

7. Tentukan batas-batas keliling sebuah segitiga dengan panjang sisi-sisinya 5 cm, 8 cm, dan 4 cm !

8. Suatu logam panjangnya 27 cm, dipotong sepanjang 10 cm, tentukan batas-batas sisinya !

9. Suatu persegi panjang diketahui panjangnya 8 cm dan lebarnya 4 cm,  tentukan batas-batas luasnya !

10. Tentukan batas-batas keliling dan luas persegi yang sisinya (5 ± 0,2) cm !

February 28, 2011 / blogmat123

YEL – YEL UN…

Ujian sudah dekat….

Ujian aku sudah siap…

Ku yakin semua pasti lulus….

February 28, 2011 / blogmat123

lagu gegap Ujian Akhir Sekolah

Ujian sudah dekat….

Ujian aku sudah siap…

Ku yakin semua pasti lulus….

February 20, 2011 / blogmat123

Bambang